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近世代数（或抽象代数）的主要研究内容就是 研究所谓的代数系统，即带有运算的集合。在近世 代数里，不管是在群、环里还是在其它代数系统 里，研究一种代数系统就是要解决这一系统的存在问题、数量问题和构造问题。如果对于一个代数系 统，这三个问题能得到圆满的解答，研究的目的就 算达到了

由已知的代数系统可以通过系统的方法构建新 的代数系统，即子代数和积代数。 这些代数系统（即子代数和积代数）能够保持 或者基本上保持原有代数系统的良好性质。

子代数

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积代数

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  1. 第一步，把定义域扩充到笛卡尔积
  2. 第二步，笛卡尔积中取出两个元素，进行新定义运算
  3. 第三步，定义的新运算等于两个笛卡尔积中，属于a的元素和属于b的元素分别进行原有运算

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在代数系统的研究中，子代数和积代数是两个重要的概念。让我们逐一讨论这两个问题。

1. 子代数的存在性

  • 子代数（Subalgebra）：子代数是从原代数系统中选出一个子集，并且这个子集在代数运算下仍然封闭（也就是说，子集中任意两个元素进行原代数系统的运算，结果仍在子集中）。子代数继承了原代数系统的运算和性质。

问题：设 ( V ) 是一个代数系统，( V ) 一定有子代数吗？或者 ( V ) 的子代数一定存在吗？

  • 答案：是的，代数系统 ( V ) 总是有子代数的。

  • 解释： 每个代数系统至少有两个子代数：

    1. 平凡子代数（trivial subalgebra）：包含代数系统的单位元或某些特殊元素，通常是系统中唯一的零元素或单位元素（例如，在一个群中，包含唯一单位元的子集构成平凡子群）。
    2. 自身子代数：代数系统本身就是它的一个子代数。

  • 总结：因此，代数系统 ( V ) 至少有两个子代数，平凡子代数和代数系统本身。这意味着子代数总是存在的。

2. 积代数的存在性

  • 积代数（Product Algebra）：积代数是指在给定的代数系统上，构造一个新代数系统，其元素是原系统的元素对（或更高维的元素组），并且新系统中的运算是在每个坐标分量上分别进行原系统的运算。形式上，如果 ( V_1 ) 和 ( V_2 ) 是两个代数系统，那么它们的积代数 ( V_1 \times V_2 ) 是由所有形式为 ( (v_1, v_2) ) 的元素组成，其中 ( v_1 \in V_1 )，( v_2 \in V_2 )，且代数运算是分量的逐点运算。

问题：设 ( V ) 是一个代数系统，( V ) 一定有积代数吗？或者 ( V ) 的积代数一定存在吗？

  • 答案：是的，积代数一定存在，但这取决于你是否给定了另一个代数系统进行积运算。

  • 解释：

    • 如果你有两个代数系统 ( V_1 ) 和 ( V_2 )，你可以总是构造它们的积代数 ( V_1 \times V_2 )。积代数的定义是根据两个代数系统的逐分量运算构造的，因此，只要你有两个代数系统，积代数总是可以存在的。
    • 对于一个代数系统 ( V ) 自身，如果你想构造与自己做积代数（即 ( V \times V )），这个积代数也是存在的。

  • 总结：积代数总是可以构造的，因为积代数是一个代数运算的扩展，它取决于给定代数系统的逐点运算。因此，积代数的存在性是可以保证的，只要有至少一个代数系统（如自身或其他代数系统）来构造积。

总结：

  1. 子代数的存在性：每个代数系统至少有两个子代数（平凡子代数和自身子代数），因此子代数总是存在的。
  2. 积代数的存在性：给定一个代数系统 ( V )，它的积代数（无论是自身的积代数，还是与其他系统的积代数）总是可以构造，因此积代数也一定存在。

同态映射

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  1. 两个定义域为A,B的代数系统，一个A->B的映射
  2. 如果A中取出x，y，进行A系统内的运算以后，映射到B系统，，等于A中的两个元素先映射到B系统，再进行B系统内的运算，则这个映射f称为同态映射，简称同态
  3. f是单射，满射，双射分别称为 单同态，满同态（此时称V2是V1的同态像，记作V1~V2）,同构
  4. 如果v1=v2，自同态

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  1. a@b = b@a ,f(a@b) = f(a)#f(b) = f(b@a) = f(b)#f(a),

    至于为什么要规定满同态才成立，想想便知，上面的式子其实已经隐含了一个条件，那就是对于b里面的所有能表示成f(x属于A)的元素，运算#具有交换律，那想要让所有B中元素对于运算#都具有交换律，就要保证所有B中的的元素都能表示成a中元素的f映射，也就是必须A->B的映射f为满射，即满同态

  2. a@(b?c) = a@c ?b@c , f(a@(b?c)) = f(a)#f(b?c) =f(a)#(f(b)&f(c)

    f(a@c ?b@c) = f(a@c) & f(b@c) = f(a)#f(c) &f(b)#f(c)

    同理，规定满同态成立的原因，也是要把存在A中元素，能映射到B中元素的每一个角落，使得B也有这个性质

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  • 总结来说，对于满同态映射f，A中的 交换律 分配律 单位元 零元 逆元 均能由f映射到B

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注意，群理论中的ker和商集的定义 与 集合论 等价类中ker和商集的定义不一样！

1. 群论中的“核”和“商群”

在群论中，核和商群是与群同态相关的概念：

  • 核（kernel）：对于一个群同态 f:G→G′f:G→G′，核是那些被映射到目标群 G′G′ 中单位元的元素集合。核只包括那些在同态下“失去”区别的元素，它们被看作相等。
  • 商群（quotient group）：商群是通过核来构造的，它的元素是陪集（coset）。陪集将原群 GG 中那些在同态下被映射到 G′G′ 中同一个元素的所有元素归为一组。商群中的每个元素实际上是原群的一个等价类，这些等价类是根据映射到 G′G′ 中同一元素来分的。

2. 等价关系和等价类中的“核”和“商集”

在等价关系和集合论中，确实有类似的概念，但定义略有不同：

  • 等价类：等价关系是集合中的一种关系，表示两个元素“等价”。如果两个元素通过某个等价关系被认为是等价的，它们属于同一个等价类。一个集合可以根据等价关系分成若干个等价类。
  • 核：在一些代数结构（如模糊集合、泛代数）中，核可以表示映射到同一元素的元素集合。这与你提到的情况类似，即核是那些通过某个映射被映射到相同元素的元素的集合。
  • **商集：在等价关系下，商集是将所有等价类作为集合中的单个元素看待的结果。换句话说，商集中的每个元素都是一个等价类，这些等价类包含了原集合中所有相互等价的元素。

3. 二者的异同

尽管群论中的核和商群与集合论中的核和商集存在一些联系，但它们的定义和使用方式是不同的：

  • 核的相似点：在集合论的等价类中，核可以看作是那些通过某个映射或等价关系被归为同一类的元素集合。而在群论中，核是映射到单位元的元素集合，它们也是在映射下“无法区分”的元素。
  • 商集和商群的区别：集合论中的商集是将等价类视为集合中的单个元素，而商群则不仅仅是分类，更是保留了群的结构（运算规则）。群论中的商群不仅是“分类”，还要满足群的运算性质。

对于群论中ker和商集的理解（相对于集合论，它有什么改变）：

  1. 为什么核是映射到单位元的元素，而不是映射到其他元素的元素？
    • 核的定义就是用来捕捉映射下变成单位元的元素的。这个定义在同态理论中很重要，因为核的性质与同态的性质直接相关。比如，ker⁡(f)ker(f) 的元素决定了哪些元素在同态映射中“无变化”。
  2. 映射到其他元素的原群中的元素怎么办？
    • 它们没有被“遗弃”，而是通过陪集的方式出现在商群 G/ker⁡(f)G/ker(f) 中。GG 中每一个映射到 G′G′ 中不同元素 g′∈G′g′∈G′ 的元素对应一个特定的陪集 gker⁡(f)gker(f)。这就是商群的构造方式，商群中每一个元素（陪集）实际上代表了 GG 中一类被 ff 映射为同一 G′G′ 元素的元素。