近世代数-003-群的定义及性质
[TOC]
主要内容
- 群的定义
- 群的基本性质
- 群的实例
- 群中的术语
群的定义
**==代数系统== ——结合律——> ==半群== —有单位元—> ==幺半群== **—两条路—>
——交换律——> ==可换幺半群==
——如果每个元素都有逆元——> ==群==
- 对于IV ，可以这么考虑：直接让a=b，那么运算的左单位元和右单位元都存在，即单位元存在，然后再让b等于单位元e，那么就能推出逆元也存在
- 答案是否定的
群的性质
讨论群中特异元素的性质
- 逆一遍，再逆一遍，还等于自身
- 先运算再逆，等于先逆，再交换过来算
- 0元不存在，因为只要是群，就一定有逆元，如果有0元，就冲突了
- 这两个性质都是利用了群的性质中的可逆性
群的实例
群中的术语
在这个问题中，群运算是对称差 ⊕⊕，我们可以利用以下性质：
对称差的逆元：对称差运算的一个特点是，每个元素的逆元就是它本身。也就是说，对于任意 X∈P({a,b})X∈P({a,b})，有：
X⊕X=∅X⊕X=∅
因为对称差只保留不重叠的元素，因此两个相同的集合进行对称差操作时，结果是空集。
单位元：在对称差运算下，单位元是空集 ∅∅，因为对于任意集合 XX，有：
X⊕∅=XX⊕∅=X
所以我们可以把对称差的运算当作某种“加法”操作，其中每个元素的“逆元”是它自己。
群中元素的幂
- 注意，必须是可交换群才满足第三条性质
模 n运算中的元素的阶
例子中提到的群 ⟨Z6,⊕⟩ 是指模 6下的加法群。这个群的元素是 Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}，其中每个元素是整数对 6 取模的等价类（即余数）。
在这个群中，运算 ⊕⊕ 是指模 6 加法，例如：
- [2]⊕[3]=[5]
- [4]⊕[4]=[2] （因为 4+4=8，模 6 后得到 2）
- [3]⊕[3]=[0] （因为 3+3=6，模 6 后得到 0）
群的单位元是 [0]，因为对于任意元素 [a]∈Z6，我们有 [a]⊕[0]=[a]。
r∣k：这个符号表示整除。读作“r 整除 k”，意思是 k 可以被 r整除，即存在一个整数 m，使得 k=mr。例如：
- 3∣6，因为 6 可以被 3 整除，且 6=3×26=3×2。
- 4∤6，因为 6 不能被 4 整除。
设 ∣a∣=r，即a^r^=e。我们希望证明 a^−1^ 的阶也是 r，即 (a^−1^)^r^=e
通过群的性质，(a^−1^)^r^=(a^r^)^−1^由于 a^r^=e，我们有：
(a^r^)^−1^=e^−1^=e
因此，(a^−1^)^r^=e，说明 a^−1^ 的阶不大于 r
另一方面，假设 (a^−1^)^k^=e 对某个 k 成立。我们通过逆元的性质得到：
a^k^=(a^−1^)^−k^=e^−1^=e
由于 a的阶是 r，因此 k 必须是 r 的倍数，即k=r。这说明 a^−1^ 的阶恰好是 r。
- 首先要讨论是不是无限集
- 对于一坨东西来说，左右各自添一个元素和一个元素的逆和原来一坨的基数相等
