近世代数-003-群的定义及性质
[TOC]
主要内容
- 群的定义
- 群的基本性质
- 群的实例
- 群中的术语
群的定义
**==代数系统== ——结合律——> ==半群== —有单位元—> ==幺半群== **—两条路—>
——交换律——> ==可换幺半群==
——如果每个元素都有逆元——> ==群==
- 对于IV ,可以这么考虑:直接让a=b,那么运算的左单位元和右单位元都存在,即单位元存在,然后再让b等于单位元e,那么就能推出逆元也存在
- 答案是否定的
群的性质
讨论群中特异元素的性质
- 逆一遍,再逆一遍,还等于自身
- 先运算再逆,等于先逆,再交换过来算
- 0元不存在,因为只要是群,就一定有逆元,如果有0元,就冲突了
- 这两个性质都是利用了群的性质中的可逆性
群的实例
群中的术语
在这个问题中,群运算是对称差 ⊕⊕,我们可以利用以下性质:
对称差的逆元:对称差运算的一个特点是,每个元素的逆元就是它本身。也就是说,对于任意 X∈P({a,b})X∈P({a,b}),有:
X⊕X=∅X⊕X=∅
因为对称差只保留不重叠的元素,因此两个相同的集合进行对称差操作时,结果是空集。
单位元:在对称差运算下,单位元是空集 ∅∅,因为对于任意集合 XX,有:
X⊕∅=XX⊕∅=X
所以我们可以把对称差的运算当作某种“加法”操作,其中每个元素的“逆元”是它自己。
群中元素的幂
- 注意,必须是可交换群才满足第三条性质
模 n运算中的元素的阶
例子中提到的群 ⟨Z6,⊕⟩ 是指模 6下的加法群。这个群的元素是 Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]},其中每个元素是整数对 6 取模的等价类(即余数)。
在这个群中,运算 ⊕⊕ 是指模 6 加法,例如:
- [2]⊕[3]=[5]
- [4]⊕[4]=[2] (因为 4+4=8,模 6 后得到 2)
- [3]⊕[3]=[0] (因为 3+3=6,模 6 后得到 0)
群的单位元是 [0],因为对于任意元素 [a]∈Z6,我们有 [a]⊕[0]=[a]。
r∣k:这个符号表示整除。读作“r 整除 k”,意思是 k 可以被 r整除,即存在一个整数 m,使得 k=mr。例如:
- 3∣6,因为 6 可以被 3 整除,且 6=3×26=3×2。
- 4∤6,因为 6 不能被 4 整除。
设 ∣a∣=r,即a^r^=e。我们希望证明 a^−1^ 的阶也是 r,即 (a^−1^)^r^=e
通过群的性质,(a^−1^)^r^=(a^r^)^−1^由于 a^r^=e,我们有:
(a^r^)^−1^=e^−1^=e
因此,(a^−1^)^r^=e,说明 a^−1^ 的阶不大于 r
另一方面,假设 (a^−1^)^k^=e 对某个 k 成立。我们通过逆元的性质得到:
a^k^=(a^−1^)^−k^=e^−1^=e
由于 a的阶是 r,因此 k 必须是 r 的倍数,即k=r。这说明 a^−1^ 的阶恰好是 r。
- 首先要讨论是不是无限集
- 对于一坨东西来说,左右各自添一个元素和一个元素的逆和原来一坨的基数相等